El Hotel Infinito

Imagina que eres el gerente de un hotel. Pero no de un hotel cualquiera en la costa, sino del "Gran Hotel de Hilbert". Este establecimiento tiene una característica muy especial que lo diferencia de cualquier otro edificio en el universo: tiene un número infinito de habitaciones.

Las habitaciones están numeradas: 1, 2, 3, 4, 5... y así sucesivamente, sin final.

Un fin de semana, el turismo se dispara y te encuentras en una situación soñada por cualquier empresario: el hotel está completo. Todas y cada una de las infinitas habitaciones tienen un huésped dentro. No queda ni una sola llave en recepción. El cartel de "Completo" brilla en la entrada.

Sin embargo, en ese momento entra un viajero por la puerta con sus maletas y pide una habitación.

En un hotel normal (finito), tendrías que decirle que se vaya. Si hay 100 habitaciones y 100 huéspedes, no cabe nadie más. Es una cuestión de aritmética básica. Pero tú estás en el mundo de las matemáticas, y aquí, el concepto de "infinito" no se comporta como un número normal.

Tú, como gerente matemático, sonríes y le dices al viajero: "No se preocupe, tenemos sitio".

¿Cómo alojas a un nuevo huésped en un hotel lleno?

No puedes construir una habitación nueva. La solución está en pedir colaboración a tus huéspedes actuales. Tomas el micrófono de recepción y das el siguiente aviso:

"Estimados huéspedes, les rogamos que por favor se muden a la habitación siguiente. Si usted está en la habitación 1, pase a la 2. Si está en la 2, pase a la 3. Si está en la habitación N, pase a la N más 1".

Como hay infinitas habitaciones, siempre hay una habitación "siguiente". Nadie se queda sin techo. El huésped de la habitación 1 se va a la 2, dejando la habitación 1 libre. Y voilà: el nuevo viajero ya puede instalarse en la habitación 1.

Acabamos de demostrar algo que rompe la intuición: infinito más uno, sigue siendo infinito.

El reto del Autobús Infinito

Crees que has resuelto el problema, pero de repente aparca frente al hotel un autobús. No es un autobús normal. Es un autobús infinito con infinitos pasajeros dentro, y todos quieren una habitación.

Ahora el truco anterior no sirve. Si mueves a tus huéspedes una sola posición, solo liberas la habitación 1. Si los mueves cien posiciones, liberas cien habitaciones. Pero necesitas infinitas camas libres.

¿Debes rendirte y perder el negocio? Jamás. Vuelves a tomar el micrófono y dices:

"Estimados huéspedes, les pedimos un nuevo favor. Miren el número de su habitación, multiplíquenlo por dos y múdense a esa nueva habitación".

Hagamos las cuentas:

El huésped de la 1 se va a la 2.

El huésped de la 2 se va a la 4.

El huésped de la 3 se va a la 6.

El huésped de la 4 se va a la 8.

¿Qué acaba de pasar? Todos tus huéspedes actuales se han mudado a las habitaciones PARES (2, 4, 6, 8...). Como los números pares son infinitos, todos tus viejos clientes tienen cama.

Pero lo mágico es lo que ha ocurrido con las habitaciones IMPARES. La 1, la 3, la 5, la 7... todas han quedado vacías. Y como hay infinitos números impares, acabas de liberar infinitas habitaciones.

Ahora puedes decirles a los pasajeros del autobús infinito que ocupen las habitaciones impares. Problema resuelto. Todos caben.

La lección matemática detrás de la paradoja

Esta historia, conocida como "La paradoja del Hotel de Hilbert", fue ideada por el matemático alemán David Hilbert en los años 20 para explicar una propiedad fascinante de los conjuntos infinitos.

En bachillerato aprendemos a diferenciar entre números Naturales (1, 2, 3...) y números Enteros o Racionales. Nuestra intuición nos dice que hay "menos" números pares que números totales, porque los pares son solo la mitad, ¿verdad?

Hilbert nos enseñó que no. En matemáticas, decimos que dos conjuntos tienen el mismo "tamaño" (o cardinalidad) si podemos emparejar cada elemento de uno con cada elemento del otro sin que sobre ninguno. Al mover a los huéspedes de la habitación N a la 2N, demostramos que hay tantos números naturales como números pares. Ambos son lo que llamamos "infinitos contables".

¿Hay algún infinito que no quepa en el hotel?

Aquí es donde la cabeza nos explota definitivamente. Sí, hay infinitos más grandes que otros.

Si llegara un autobús con los "Números Reales" (esos que incluyen todos los decimales infinitos, como Pi o la raíz de 2), no habría forma matemática de meterlos en el hotel. Aunque usáramos cualquier truco de ingenio, siempre sobrarían infinitos números reales sin habitación.

Esto fue descubierto por Georg Cantor, quien demostró que existen diferentes niveles de infinito. El infinito de los números que usamos para contar (1, 2, 3...) es el más pequeño de todos. Pero el infinito de los números reales es un monstruo de una magnitud superior, un abismo mucho más profundo.

Así que, la próxima vez que te enfrentes a un problema de límites en clase de matemáticas y veas el símbolo de infinito ($\infty$), recuerda: no es solo un ocho tumbado ni un número muy grande. Es un concepto que desafía la realidad, donde el todo puede ser igual a una de sus partes y donde un hotel lleno siempre tiene sitio para uno más.